\documentclass[catalan,a4paper,titlepage,12pt]{book}

\usepackage{graphicx}

\usepackage{ucs}

\usepackage[utf8x]{inputenc}

\usepackage{babel}

\usepackage{units}

\usepackage{amsmath}

\usepackage{amssymb}

\usepackage{subfigure}

\usepackage{icomma}

\usepackage{paralist} % compact enumerations

\usepackage{url}

%\usepackage{makeidx}%,showidx} % This latter shows the indexed in the margin

\usepackage[margin=1cm,font=footnotesize]{caption}

%\usepackage{a4wide}

%\usepackage{natbib} No volem referències que no siguin números.

\bibliographystyle{caplain}

\setcounter{tocdepth}{1}

% For in-paragraph lists of a), b), c).

\newcommand{\subcite}[1]{\emph{#1)}}

\newcommand{\decimal}[1]{\sepnum{,\!}{.}{}{#1}}

%\newcommand{\revisar}[1]{\marginpar{\scriptsize #1}}

\newcommand{\revisar}[1]{}

\newcommand{\figura}[2]{

    \begin{figure}[!htp]

    \centering

    \includegraphics[width=13cm]{#1}

    \caption{#2}

    \end{figure}

    }

\newcommand{\figuraw}[3]{

    \begin{figure}[!htp]

    \centering

    \includegraphics[width=#1]{#2}

    \caption{#3}

    \end{figure}

    }

\newcommand{\reg}{$^\text{\textregistered}$}

\makeindex

\begin{document}

\tableofcontents

% TODO: Remove subsections

\chapter*{Introducció}

La codificació d'imatges JPEG ofereix unes imatges bastant fidels amb molt pocs

bits per pícsel, reduint en bona mesura la mida dels fitxers d'imatge i els

seus temps de transferència per xarxa. Per això ha estat molt popular en la publicació d'imatges

per Internet, i ho continua sent en l'ambient domèstic degut a les càmeres

\revisar{sent o essent?}

digitals. Així doncs, creiem que qualsevol esforç a millorar la descodificació d'aquestes imatges té molt

valor.

Ens hem decidit a analitzar i recopilar les nombroses tècniques

de restauració de JPEG aparegudes a diferents publicacions científiques. Alhora,

hem creat una aplicació informàtica lliure que implementa alguns dels algorismes

més interessants de la nostra cerca, a més d'establir una base per al

desenvolupament d'aquest tipus de tècniques.

Mitjançant aquest informe i el programa informàtic desenvolupat en paral·lel

introduïm al lector al món de la pèrdua d'informació JPEG, donem a conèixer

l'estat de l'art de la seva restauració, i proveïm als

manipuladors d'imatges (de centres fotogràfics, d'impressió, etc.) amb

les tècniques més prometedores d'aquest camp. Portem les idees de les

publicacions científiques de laboratori als

ordinadors personals de cases i centres de fotografia.

Al llarg del document trobarem vàries imatges exemplificant soroll i

restauracions, algunes d'elles difícils d'apreciar amb una impressora làser

convencional. Per això us remetem a la versió electrònica d'aquest document per

a poder apreciar les diferències entre imatges en detall.

\chapter{Plantejament del problema}

\section{La codificació JPEG}

\revisar{Això ve de la Viquipèdia. Cal trobar una font millor.}

El 1986 es va crear un comitè per establir un estàndard de codificació

d'imatges de to-continu (continous tone), per exemple, fotografies. Aquest

comitè tenia el nom de Joint Photographic Experts Group, i el 1992 la ISO i el

CCITT van aprovar

l'estàndard conegut arreu amb el nom de JPEG (ISO/IEC IS 10918-1 - ITU-T

Recommendation T.81)\footnote{\url{http://www.jpeg.org/jpeg/index.html}}.

Van decidir tant la

codificació de la imatge, efectivament amb les sigles del grup, i en paral·lel

també es va decidir un

format de fitxer que contindria la informació codificada

(JFIF - JPEG File Interchange Format), ja que en informàtica sovint convé

conservar informació en fitxers. Aquest format de fitxer permetia especificari

diferents espais de

color pel JPEG, i el delmat d'alguns dels plans.

Amb les càmeres digitals que directament

conservaven les fotografies en JPEG i en fitxers, es va creure que la informació

que permetia conservar el JFIF no era suficient. Va aparèixer l'EXIF, que

permet conservar en un fitxer molta més informació de les circumstàncies de la fotografia

(estat de la càmera, sensors, etc.), a més de la codificació JPEG. Molta gent sol anomenar els

contenidors JFIF i EXIF indistintament ``Fitxers JPEG'',

o bé amb la reducció a tres lletres obligada sota sistemes MS-DOS,

``Fitxers JPG''.

Dins l'estàndard s'hi inclouen dues formes diferents de codificar la imatge: amb

pèrdues (\emph{lossy}) o sense (\emph{lossless}). Aquesta última no ha

esdevingut

popular, i segurament qualsevol imatge JPEG que trobem haurà estat codificada

amb pèrdues. D'ara en endavant parlarem exclusivament de la compressió amb

pèrdues.

La imatge original, prèvia a codificar, la trobem definida amb un mapa de

bits. Això significa que tenim la imatge dividida en espai, amb una malla

\revisar{exemple de mapa de bits?}

quadriculada de punts de color. Cada punt (pícsel, píxel, \emph{pel}, de l'anglès

\emph{picture

element}) ens defineix el color en aquell lloc de la quadrícula. Si tenim una

quadricula de punts suficientment densa, a ull nu no podrem distingir-la

i el conjunt semblarà una imatge de color contínua o de to continu --

sobretot

en el cas de que la imatge sigui d'origen fotogràfic, en comptes de generada

artificialment.

La codificació JPEG, mitjançant les pèrdues i diversos sistemes de compressió de

dades, permet convertir el mapa de bits a una representació més densa, tot i que

no fidel, de la original. Si tenim la imatge codificada amb els plans de color

Vermell-Verd-Blau (RGB), amb 8 bits per punt i component, tenim una densitat

d'informació de 24 bits per punt (bpp). Amb la compressió JPEG podem arribar a

relacions de 1,5 bpp sense escatimar gaire en qualitat d'imatge. En el cas de tenir el

mapa de bits a partir d'una fotografia, almenys a una densitat de pícsels de 72

ppi (72 pícsels per polzada) en horitzontal i vertical, el nostre sistema

de visió en prou

feines pot distingir la pèrdua de definició del JPEG a 1,5 bpp.

\revisar{exemple d'aquestes poques pèrdues}

En el procés de codificació (o compressió) JPEG, es llença part de la informació

del mapa de bits original. Això vol dir que en el procés de descodificació

tindrem només part de la informació original, i que per construir una

nova imatge sencera, el descodificador s'ha d'inventar la part que falta. A

les implementacions populars de descodificadors JPEG que hem vist

\cite{libjpeg}, la invenció d'informació és molt simple, i no sempre encertada,

considerant que cal obtenir una imatge el més semblant possible a l'original

d'acord amb els criteris del nostre sistema visual.

En aquest treball analitzarem

tècniques que pretenen aprofitar millor la informació del JPEG per a reconstruir

una versió més agradable de la imatge original codificada.

\section{Popularitat}

\revisar{Cal fer que es vegi més això de la Popularitat}

Des de l'establiment de l'estàndard JPEG com a norma ISO (10918-1) el 1994, i de

la donació al domini públic de la implementació coneguda amb el nom de

\texttt{libjpeg} \cite{libjpeg}, en versió 5 el mateix any, aquesta codificació

ha esdevingut molt popular. Als inicis d'Internet, JPEG oferia la major densitat

d'informació per a transmetre fotografies. La publicació de l'estàndard va

alliberar l'ús de qualsevol restricció per patents, i la velocitat de procés de

la \texttt{libjpeg} va permetre introduir suport pel format en moltes

aplicacions dedicades al processament d'imatges, fins i tot en els ordinadors

personals.

L'alta densitat de la informació JPEG, junt amb les restriccions d'ample de

banda dels primers anys de l'Internet popular, van fer que la gent publiqués les

seves fotografies en aquest format. Els límits en espai d'emmagatzematge també

van causar que la gent conservés les fotografies només en aquest format. Aquesta

corrent continua fins ara. Tot i que els amples de banda i l'espai per

emmagatzemar informació han augmentat, la quantitat de fotografies

intercanviades i conservades també ha augmentat. Amb l'arribada dels escànners i

les càmeres digitals a l'ús domèstic, el públic adquireix cada vegada més

imatges, i més grans (més punts al mapa de bits). Des de fa temps hi ha

implementacions de la codificació JPEG en maquinari, i per exemple la majoria

de càmeres digitals donen els seus resultats en format JPEG. Fins i tot, per

desconeixença, prou gent utilitza aquest format per a guardar imatges

artificials, que no són de to continu, simplement pel costum de veure les

sigles JPEG arreu associades a imatges i a alta densitat d'informació.

El comitè de JPEG l'any 2000 va crear un nou format d'imatge que pretén oferir

millor densitat d'informació que el JPEG, però malgrat que han passat set anys

des de la seva definició, no ha guanyat prou popularitat com per substituir el

JPEG de 1992. Parlant exclusivament de la

codificació d'imatges de to continu, el comitè garanteix que el JPEG 2000 no està subjecte a

patents, però la seva implementació lliure més popular,

\texttt{jasper}\footnote{\url{http://www.ece.uvic.ca/~mdadams/jasper/}},

conté molt de càlcul i ús de memòria, fins i tot pels ordinadors

personals actuals. Tampoc hi ha implementacions en maquinari per part dels

fabricants de càmeres digitals. Tanmateix, per posar un exemple popular, el

% ref http://lists.brouhaha.com/pipermail/tumble-devel/2004q4/000007.html

programari Adobe Acrobat\reg des de la versió 6 suporta la

codificació JPEG2000 dins

el seu format PDF 1.5. La majoria d'aplicacions d'Adobe, en la seva versió

actual, suporten el format. D'acord amb alguns experts en el camp de fotografia,

per això, per a densitats d'informació similars, opinen que el JPEG original

encara els dóna

una versió de la imatge més agradable, especialment en zones de textures d'alta

freqüència.

Així doncs, ara per ara trobem arreu imatges codificades en JPEG. És probable

que d'una fotografia digital que ens interessa, només tinguem accés a la seva

codificació JPEG. Això és el que ha motivat aquest treball, i per això

perseguim la millor descodificació JPEG possible. Ja des dels inicis de l'ús del

JPEG que s'han proposat mètodes per a descodificar millor les imatges; mètodes

complexes computacionalment, però que ofereixen resultats millors que la

descodificació convencional. De tota manera, pràcticament cap d'aquests mètodes

s'ha popularitzat, i en prou feines n'existeix alguna aplicació més enllà de

l'article publicat en una revista científica. En aquest treball hem procurat

donar una visió global sobre l'estat de l'art en el camp de la descodificació

JPEG, així com implementar uns quants mètodes convincents, i fer-los públics en

forma d'una aplicació informàtica. Amb això pretenem fer disponibles els millors

resultats d'anys de recerca acadèmica als nombrosos usuaris de JPEG. Si bé

aquesta aplicació ha estat pensada per a versats en el camp de la imatge, hem

procurat que l'usuari no necessiti coneixements experts de JPEG o de programació

per a dur a terme les descodificacions.

\section{Les pèrdues al JPEG}

\label{sec:perdues}

El procés de codificació segueix els següents passos, que més endavant expliquem amb més detall:

\begin{compactenum}

\item Dividim la imatge en plans de color.

\item Delmem alguns plans, si d'ells acceptem menys detall. Aquí tenim la

primera pèrdua d'informació important.

\item Dividim cada pla resultant en blocs de 8x8 pícsels.

\item Fem la transformada DCT (Apèndix \ref{sec:dct}) de

dues dimensions a cada bloc, i així n'obtenim

la seva representació freqüencial en 64 coeficients.

\item Quantitzem els coeficients. Aquí hi ha la segona pèrdua d'informació

important.

\item Codifiquem els coeficients quantitzats mitjançant tècniques sense pèrdues,

i els guardem en un sol paquet de dades. Aquest serà el resultat de la

codificació JPEG.

\item Col·loquem el paquet de dades en un fitxer a part (mitjançant JIF, JFIF,

EXIF, etc.), o bé dins el contenidor que creiem convenient (Postscript, PDF,

DJVU, etc.).

\end{compactenum}

\noindent La descodificació, anàlogament, podem dividir-la en aquests passos:

\begin{compactenum}

\item Obtenim el paquet de dades JPEG del seu contenidor.

\item Recuperem els valors dels coeficients quantitzats del paquet (que havíem

guardat sense pèrdues).

\item Desquantitzem els coeficients, decidint-ne un valor concret dins de

l'interval de quantització corresponent. (Aquí el descodificador ha de prendre

decisions, inventar, el millor possible)

\item Fem la transformada inversa DCT dels coeficients obtinguts, per

arribar a la representació en blocs de mapa de bits de 8x8 pícsels.

\item Els blocs constitueixen la informació espacial dels plans, i cal

interpolar els plans delmats a la seva dimensió original.

(Aquí el descodificador també ha

d'inventar els nous punts al escalar la imatge)

\item Ja tenim una versió dels tres plans que determinaven la imatge, i podem entregar-la a qui l'hagi demanada.

\end{compactenum}

\subsection{Plans de color i delmat}

\label{sec:plans-color}

Les nostres pantalles solen utilitzar tres plans per a determinar la imatge a

mostrar en color: vermell, verd i blau. No generen qualsevol color de l'espectre, sino només punts d'aquests tres colors, cadascun amb intensitat variable.

Les freqüències de llum dels tres colors s'avenen amb les de

màxima sensibilitat dels nostres tres cons més importants,

de manera que la pantalla

produeix, pràcticament, l'excitació independent dels nostres cons, donant la

sensació d'un espai de color continu (\cite{eyeandbrain}).

Un color groc, per exemple, degut a les

respostes freqüencials dels cons, excita parcialment el con vermell

i el con verd.

La pantalla enganya els cons, excitant concretament una mica els del vermell,

i també una mica els del verd. Els colors de blanc a negre es produeixen amb igual intensitat de llum vermella, verda i blava.

\revisar{Imatge de la resposta dels cons}

En el cas d'imatges en blanc i negre, d'un únic pla, l'etapa dels plans de color no participa en la codificació. En canvi, les imatges en color consisteixen en múltiples plans, com els de les pantalles, que les següents etapes tractaran de manera indepedent.

El JPEG consisteix en una compressió d'imatges amb pèrdues, que introduirà defectes a les imatges que codifiquem. Volem que el sistema nerviós humà distingeixi poc

aquests defectes, i veurem com una reorganització de la informació dels plans ens pot ajudar a aquest efecte.

El nostre sistema nerviós distingeix variacions d'intensitat de llum millor que variacions

de color, i en els plans RGB cada un porta una mica d'informació de la intensitat de llum. Hauríem d'introduir pocs defectes a cada pla, per a que el cervell en prou feines els distingís.

De tota manera, hi ha una transformació de color que ens ajuda a distribuir la informació de la imatge en plans més útils. Els plans RGB es poden convertir mitjançant unes regles matemàtiques a tres nous plans que defineixen igualment la imatge: intensitat de

llum, blavor i vermellor (YCbCr)\index{YCbCr}. Així tenim la informació separada en plans que el nostre cervell considera de manera diferent. Ara podem llençar molta informació dels plans de color (Cb i Cr), més que no pas podríem llençar dels plans RGB originals, si ho comparem en termes de percepció visual.

\figura{flors-rgb2ycc.pdf}{

\label{fig:cb-rgb2ycc} Plans RGB i YCbCr d'una imatge en color.}

Quan parlem d'imatges amb formes reconeixedores, aquestes formes són molt

importants a l'hora d'avaluar la percepció de la imatge. Sovint les formes

venen molt determinades per la lluminositat general (pla Y), i segurament per això l'ull humà es comporta més sensible als defectes del pla Y que als dels plans Cb i Cr (\cite{eyeandbrain}). En

la majoria de codificadors JPEG veurem que els plans de color Cb i Cr es delmen i

les següents etapes els quantitzen a menys qualitat. La majoria

de càmeres digitals delmen per maquinari a 2:1 només en horitzontal, mentre que

molts codificadors per programari delmen a 2:1 tant en horitzontal com en

vertical.

\figura{flors-cb-rescale.pdf}{\label{fig:cb-rescale}Delmat

2:1 en horitzontal i vertical del pla Cb, i posterior

interpolació lineal de la versió delmada.}

A la descodificació, cal interpolar els plans delmats a la seva mida original,

mitjançant interpolacions o altres tècniques. Convencionalment (per defecte a

la \texttt{libjpeg} \cite{libjpeg}) es fa una interpolació lineal. I per a

suplir la imatge final a la pantalla, cal invertir el canvi de plans de YCbCr

a RGB.

El delmat dels plans de color provoca una incomoditat visual sovint detectable a

les imatges JPEG descodificades: el \emph{vessament de color} (\emph{color

bleeding}). A la Figura \ref{fig:house-bleeding} podem veure'l.

\figura{house-bleeding.pdf}{

\label{fig:house-bleeding} A l'esquerra, l'original. Al mig, JPEG amb màxima

qualitat al pla de lluminositat, i qualitat 40 de \texttt{libjpeg} als plans de

color, amb delmat 2x2:1x1:1x1 (als dos plans de color la meitat de punts en

horitzontal i vertical que al pla de lluminositat). Es pot apreciar el vessament

de color sobre les finestres. A la dreta, JPEG amb la mateixa codificació per

plans, però sense delmar els plans de color. Ja no s'hi aprecia tant el

vessament.}

\begin{table}[!htp]

\centering

\begin{tabular}{|c|c|p{9cm}|}

%\hline

%{\bfseries 4:x:y} & {\bfseries Y,Cb,Cr} &

%{\bfseries Significat} \\

%\hline

\hline

4:4:4 & 1x1,1x1,1x1 & Igual resolució de lluminositat i color \\

\hline

4:2:2 & 2x1,1x1,1x1 & La meitat de punts de color en horitzontal \\

\hline

4:2:0 & 2x2,1x1,1x1 & La meitat de punts de color en horitzontal, i la meitat

en vertical \\

\hline

4:1:1 & 4x1,1x1,1x1 & Un quart de punts de color en horitzontal \\

\hline

\end{tabular}

\caption{\label{tab:notacions}Notacions pels delmats dels canals de color

per a les components YCbCr. La segona és típica de les càmeres digitals, i la

tercera, el delmat per defecte al guardar imatges a diversos programes

informàtics.}

\end{table}

\subsection{Blocs i quantització dels coeficients}

Cada pla de la imatge es parteix en blocs de 8x8 pícsels, i cada bloc es

codifica de manera independent. La informació es llença per bloc,

independentment de la informació dels blocs veïns. Degut a això, sovint podem

distingir molèsties visuals precisament a les vores entre blocs, on la

informació pertany a dos blocs que el codificador ha considerat

independentment.

Dels 64 punts d'intensitat de color que determinen cada bloc de 8x8 pícsels

obtenim 64 coeficients mitjançant la transformada DCT 2D (Apèndix \ref{sec:dct}).

Aquests es solen ordenar en

freqüències de menor a major, utilitzant l'ordre de Zig Zag

(Figura \ref{fig:jpeg-coeficients}) definit a l'estàndard de JPEG.

Les taules de quantització determinen la quantitat d'informació que es llença

per cada un dels 64 coeficients. Es sol utilitzar una taula de quantització

diferent per cada pla del JPEG. S'han dut a terme nombrosos experiments per a

decidir quins coeficients són més importants per a degradar mínimament la

imatge, establint un grau d'importància entre ells.  En la majoria

d'aplicacions que codifiquen imatges en JPEG l'usuari té l'opció d'escollir la

densitat de la informació codificada, que consisteix en quantitzar els

coeficients més o menys, mantenint el grau d'importància entre ells. No tots

els codificadors utilitzen els mateixos patrons de taules de quantització. Les

càmeres digitals tenen limitacions als algorismes en maquinari, els programes

de manipulació fotogràfica professionals poden tenir els seus propis estudis de

les taules de coeficients, i la \texttt{libjpeg} \cite{libjpeg} simplement

segueix les taules recomanades a l'estàndard (\cite{jpegspec}). Podem veure un

exemple de quantitzadors a la Taula \ref{tab:example-qtable}.

\figuraw{13cm}{jpeg-coeficients.pdf}{

\label{fig:jpeg-coeficients} A l'esquerra, funció base de cada

coeficient de la DCT 2D. Al mig, contribució parcial dels coeficients de la DCT;

cada bloc s'ha reconstruït considerant nuls els coeficients de més altes

freqüències. A la dreta, la serialització dels coeficients en Zig

Zag (\cite{jpegspec}, 4.3). Les imatges primera i tercera les hem obtingut

de la Viquipèdia \cite{wiki:jpeg}.}

% Taula de quantització

\begin{table}[!htp]

\centering

{ \footnotesize

\begin{tabular}{ccccccccc}

80 & 55 & 50 & 80 & 120 & 200 & 255 & 305 \\

60 & 60 & 70 & 95 & 130 & 290 & 300 & 275 \\

70 & 65 & 80 & 120 & 200 & 285 & 345 & 280 \\

70 & 85 & 110 & 145 & 255 & 435 & 400 & 310 \\

90 & 110 & 185 & 280 & 340 & 545 & 515 & 385 \\

120 & 175 & 275 & 320 & 405 & 520 & 565 & 460 \\

245 & 320 & 390 & 435 & 515 & 605 & 600 & 505 \\

360 & 460 & 475 & 490 & 560 & 500 & 515 & 495

\end{tabular}

}

\caption{\label{tab:example-qtable} Taula de quantització pel pla d'intensitat

de llum segons la \texttt{libjpeg} \cite{libjpeg} a qualitat 30},

$Q_i , \, i = 1,2,\ldots,64$ segons l'ordre de Zig Zag.

\end{table}

La quantització dels coeficients consisteix en conservar només el valor enter

resultat d'arrodonir la divisió pel quantitzador. El primer coeficient (la

component contínua DC) no es quantitza independentment com els altres, sinó que es

quantitza la diferència amb el primer coeficient del bloc anterior. Per cada un dels 63

coeficients AC provinents de la transformada DCT 2D ($y_i$, on $i = 2,3,\ldots,64$) i

per la diferència amb la component DC anterior ($y_1$) obtenim un enter arrodonint:

\[ \hat y_i = \left[ \frac{y_i}{Q_i}\right] , \, i = 1,2,\ldots,64 \] 

La recuperació convencional de cada coeficient, especificada a l'estàndard

\cite{jpegspec}, consisteix en multiplicar pel

quantitzador, $ z_i = \hat y_i Q_i $. Podem veure un exemple dels coeficients

d'un bloc a la Figura \ref{fig:quant-intervals}. De tota manera, a la

descodificació, del coeficient original només sabem que es troba dins

l'\emph{interval de quantització}:

\begin{equation}

\label{eqn:quant-intervals}

y_i \in Q_i \left[ \hat y_i - 0,5 \, , \,

\hat y_i + 0,5 \right] 

\end{equation}

\figura{block16x16simple.pdf}{

\label{fig:quant-intervals} Coeficients del bloc situat a la fila 17,

columna 17, del pla de lluminositat de la Lena de 256x256,

amb una compressió a qualitat 30

segons la \texttt{libjpeg} \cite{libjpeg}. Estan ordenats de menor a

major freqüència, com

marca l'ordre de Zig Zag de JPEG. Es poden apreciar els intervals de

quantització, i la pèrdua d'informació sobretot a les freqüències més altes.}

A la pèrdua d'informació deguda a la quantització dels coeficients, un cop se'ls

ha aplicat la transformada DCT 2D inversa, se l'anomena

\emph{soroll de quantització}. Té diverses conseqüències visibles a la imatge

descodificada de manera convencional i en podem veure una classificació a

la Figura \ref{fig:quant-problems}.

\figura{lena-blocking.pdf}{

\label{fig:quant-problems} A l'esquerra, pla de lluminositat de la Lena de 256x256 pícsels, a

qualitat 40 segons la \texttt{libjpeg}. A la dreta, tall on podem veure els

efectes

\subcite{a}d'ones

(\index{ringing}\emph{ringing})

als blocs que tenen un canvi brusc d'intensitat pel mig,

\subcite{b}de blocs (\index{blocking}\emph{blocking}), entre blocs a les

superfícies de lluminositat similar, i 

\subcite{c}d'escala (\index{staircase}\emph{staircase}), quan apareixen graons a

una zona de canvi d'intensitat. Al mig, el mateix tall de la imatge original, per comparar.}

\chapter{Qualitat de les imatges}

En aquest treball ens proposem millorar la descompressió d'imatges JPEG. Per

tant, cal que considerem quantificar la qualitat de la imatge resultant.

Una mesura molt utilitzada,

simplement pel fet de ser purament de teoria del senyal,

és l'\emph{error quadràtic mitjà}

(\index{MSE}~MSE - \emph{Mean Squared Error}, \cite{comphandbook_mse}). Aquesta mesura ens permet comparar imatges

descodificades amb la versió original. 

Per cada pla de la imatge que ens interessi, considerem error la diferència